2019 ~ Ruang Belajar Matematika

Rabu, 20 November 2019

Barisan Bilangan Tingkat Dua

Soal:
Diketahui barisan bilangan 8 , 15 , 24 , 35 , ...
Tentukan rumus suku ke n barisan bilangan tersebut!

Pembahasan:
Barisan bilangan di atas tidak termasuk barisan bilangan Aritmetika maupun Geometri oleh karena itu dibuatlah barisan bertingkat sampai mendapatkan beda yang tetap.
Pola barisan yang terbentuk seperti berikut

Barisan bilangan di atas merupakan barisan bilangan tingkat dua
Rumus Umum suku ke n ialah Un = an² + bn + c ; dengan a, b dan c ditentukan kemudian menggunakan sifat, (lihat text box)

2a = constanta
2a = 2
a = 1

3a + b = beda dua suku pertama
3(1) + b = 7
b = 7 - 3
b = 4

a + b + c = 8
1 + 4 + c = 8
c = 8 - 1 - 4
c = 3

Un = an² + bn + c
Un = n² + 4n + 3 atau jika diubah dalam bentuk faktor menjadi
Un = ( n + 3 )( n + 1 )
Jadi Rumus suku ke n untuk barisan bilangan 8 , 15 , 24 , 35 , ...
adalah Un = n² + 4n + 3 atau Un = ( n + 3 )( n + 1 )

Rumus Besaran Pada Fungsi Kuadrat

09.05 SMP Kelas IX No comments

Berikut ini adalah rumus-rumus untuk menentukan besaran pada Fungsi Kuadrat

Untuk besaran-besaran pada fungsi kuadrat $\mathbf{f(x)=ax^{2}+bx+c}$ dengan $\mathbf{a\neq 0}$ dan $\mathbf{D=b^{2}-4ac}$ dapat diperoleh menggunakan cara, menentukan:
a. Pembuat nol fungsi y = f(x) = 0 , artinya grafik memotong sumbu x, maka y = 0 diperoleh:

Akar-akar persamaan kuadrat x₁ dan x₂
_{Titik potong pada sumbu x ( x₁ , 0 ) dan ( x₂ , 0 )}

b. Grafik memotong sumbu y, maka x = 0 yakni

x = 0   $\rightarrow$    y = f(x) = ax² + bx + c

           y = a.0 + b.0 + c
y = c

koordinat titik potong grafik terhadap sumbu y ( 0 , c )

c. Persamaan sumbu simetri dinyatakan dengan $x=\frac{-b}{2a}$

d. Nilai optimum (minimum/maksimum)

Nilai optimum dapat ditentukan dengan rumus $\frac{-D}{4a}$ atau $\frac{-(b^{2}-4ac)}{4a}$

e. Titik puncak (optimum) parabola $\left (\frac{-b}{2a} , \frac{-D}{4a} \right )$

Menentukan Fungsi Kuadrat

05.52 SMP Kelas IX, Soal-soal SMP No comments

Pada ruang solusi kali ini akan dibahas cara menentukan Fungsi Kuadrat yang grafiknya melalui beberapa titik yang ditentukan.
Sebagai bahan pembahasan akan diselesaikan soal dalam buku paket Latihan 2.4 hal 115 no. 1

Soal:
Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik koordinat (-1, 1) , (0, -4) dan (1, -5)

Jawab:
Ada tiga tahapan untuk menyelesaikan soal tersebut yaitu,

tulis dulu Fungsi Umum: y = ax² + bx + c
Tahap 1:
Grafik melalui titik (0, -4) ................ kita ambil titik (0, -4) terlebih dahulu karena ini merupakan
titik potong grafik dengan sumbu y, dimana x = 0
Ingat grafik memotong sumbu y di titik (0, c), maka nilai c = - 4

Fungsi menjadi  y = ax² + bx - 4

Tahap 2:
Grafik melalui titik (-1, 1)
(-1, 1) disubstitusikan ke y = ax² + bx - 4
x = -1 dan y = 1 diperoleh  1 = a(-1)² + b(-1) – 4
1 = a - b  – 4
1 + 4 = a - b
5 = a - b atau a - b = 5 ........... persamaan (1)

Tahap 3:
Grafik melalui titik (1, -5)
(1, -5) disubstitusikan ke y = ax² + bx - 4
x = 1 dan y = -5 -5 = a(1)² + b(1) – 4
-5 = a + b  – 4
- 5 + 4 = a + b
- 1 = a + b atau a + b = - 1 ........... persamaan (2)
(1) dan (2) ..... a - b = 5
a + b = - 1
--------------- +
2a = 4
  a = 2
a = 2 disubstitusikan ke persamaan (2)
  a + b = - 1
2 + b = - 1
b = - 1 - 2
b = - 3
Nilai a = 2 , b = - 3 dan c = - 4 disubstitusikan ke fungsi kuadrat bentuk umum
y = ax² + bx + c
y = 2x² - 3x - 4 inilah Fungsi Kuadrat yang dimaksud.

Demikian cara menentukan Fungsi Kuadrat yang grafiknya melalui beberapa titik yang ditentukan. Selamat belajar....

Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Rumus Kuadratik

14.32 SMP Kelas IX No comments

Disamping dua cara yang sudah diuraikan pada postingan yang lalu, untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dapat juga diselesaikan dengan menggunakan Rumus Kuadaratik atau yang biasa dikenal dengan Rumus ABC yaitu,

$x_{1.2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

Contoh:
Selasaikan persamaan  3x² – x – 2 = 0 dengan menggunakan rumus kuadratik

Jawab:
Catatan: dalam menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan rumus, ubah dulu bentuk persamaan ke bentuk umum  ax² + bx + c = 0 agar mudah untuk menentukan nilai a, b dan c

Pada persamaan kuadrat 3x² – x – 2 = 0 ini sudah sesuai dengan bentuk umum dan didapat nilai a = 3 , b = –1 dan c =- –2
Kemudian nilai a , b dan c disubstitusikan ke Rumus seperti berikut
$x_{1.2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
$x_{1.2}=\frac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^{2}-4(3)(-2)}}{2(3)}$
$=\frac{1\pm \sqrt{1+24}}{6}$
$=\frac{1\pm \sqrt{25}}{6}$
$x_{1.2}=\frac{1\pm 5}{6}$
$x_{1}=\frac{1+5}{6}$ atau $x_{2}=\frac{1-5}{6}$
$x_{1}=\frac{6}{6}=1$    $x_{2}=\frac{-4}{6}=\frac{-2}{3}$

Selamat belajar.....

Media Pembelajaran

19.36 Power Point No comments

Pada umumnya konsep-konsep dalam matematika bersifat abstrak. Agar konsep abstrak matematika bisa diterima dengan baik oleh anak perlu diberikan penguatan diantaranya ialah dengan media pembelajaran. Oleh karena itu dalam ruang ini admin coba memposting artikel dalam bentuk ppt. dengan harapan; bagi siswa bisa dipergunakan sebagai penunjang dalam belajar agar lebih mudah memahami konsep matematika dan bagi pengunjung Blog yang ingin mendapatkan informasi Matematika dalam bentuk ppt silahkan mengunduh beberapa materi pembelajaran di bawah ini. Semoga bermanfaat...

Materi penunjang PBM untuk Kelas VII dalam bentuk ppt yang bisa didownload :
Melukis Duplikat dan Garis Bagi Sebuah Sudut Download File di sini

Materi penunjang PBM untuk Kelas VIII dalam bentuk ppt yang bisa didownload :
Pengertian Gradien atau Kemiringan Garis Download File di sini

Materi penunjang PBM untuk Kelas IX dalam bentuk ppt yang bisa didownload :

Mengapa Akar Kuadrat Bernilai Positif dan Negatif?

19.16 Matematika ImTaq 2 comments

Suatu hari admin sedang melaksanakan tugas mengajar dalam suatu ruang kelas IX di sebuah SMP dimana admin bertugas. Materi yang dibahas waktu itu mengenai Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Rumus Kuadratik atau yang dikenal dengan Rumus ABC.
Pada pertemuan itu kita gunakan metode diskusi dengan membentuk beberapa kelompok.
Pada fase pengamatan, masing-masing kelompok melakukan pengamatan buku sumber dan buku referensi lain sebagai pelengkap terkait dengan Rumus Kuadratik dan mendiskusikannya dengan teman satu kelompok, bagaimana proses ditemukan rumus itu serta penerapannya untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. Diskusi kelompok berlangsung cukup hening, maklum karena yang mereka diskusikan adalah pelajaran matematika.
Disela-sela diskusi kelompok sedang berlangsung ada seorang anak yang mewakili kelompoknya mengajukan pertanyaan seperti ini

Pak... kenapa pada Rumus Kuadratik itu kok terdapat tanda plus minus $\left ( \pm \right )$ di depan akar?
sambil membacakan rumusnya $x_{1.2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

Mendengar pertanyaan seperti itu admin tidak langsung menjawabnya, namun admin kembalikan ke kelompok lain untuk menjawab atau menanggapi pertanyaan tersebut.
Setelah ditunggu beberapa menit ternyata belum ada tanggapan, maka admin mencoba untuk menjelaskan mengapa "Akar Kuadrat Bernilai Positif dan Negatif" dengan metode tanya jawab;

Guru: berapakah nilai dari $\sqrt{9}$ ? kenapa?

Peserta didik: 3 (positif tiga), karena 3 x 3 = 9

Guru: bagus.... jawaban kalian benar namun, adakah nilai lain selain positif 3!

Peserta didik: tidak ada!! (jawabnya kompak)

Guru: bagaimana jika nilai $\sqrt{9}$ = -3 , bukankah (-3) x (-3) = 9.
Nah itulah sebabnya kenapa tanda $\left ( \pm \right )$ ada di depan tanda akar.

Kesimpulannya adalah akar kuadrat suatu bilangan mempunyai nilai (+) positif dan (-) negatif

Dari hasil pembahasan tersebut dapat kita petik suatu hikmah ialah informasi nilai-nilai positif itu ditanamkan pada peserta didik sejak dini, itulah makanya nilai akar kuadrat yang di ketahui anak sebelum masuk di SMP adalah nilai positif. Setelah masuk SMP anak mulai tahu dan mengenal tidak hanya unsur / nilai positif tapi juga tahu dan mengenal unsur / nilai negatif. Dalam hal ini peserta didik diharapkan bisa membedakan mana unsur-unsur yang bernilai positif dan mana yang bernilai negatif untuk selanjutnya mengambil nilai-nilai positif itu untuk diaplikasikan dalam kehidupan sehari-hari.

Waallahua'lam bisshowab...
Selamat berkarya semoga apa yang kita kerjakan bernilai ibadah, Aamiin..

Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan Kuadrat Sempurna

19.02 SMP Kelas IX No comments

Menyelesaikan persamaan kuadrat bisa menggunakan cara melengkapkan menjadi persamaan kuadrat sempurna. Biasanya cara ini dilakukan apabila dengan cara penfaktoran sulit atau tidak bisa difaktorkan.

Contoh:
Selesaikan persamaan kuadrat  2x² + 12x + 8 = 0 dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna!

Jawab:
Langkah menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara melengkapkan kudrat sempurna ialah sbb;
1. pastikan nilai a = 1 (koefisien x² harus sama dengan 1)
2. letakkan konstanta di ruas kanan
3. tambahkan kedua ruas dengan kuadrat dari setengahnya b $\left ( \frac{b}{2} \right )^{2}$

Baik silakan simak langkah-langkah penyelesaiannya
cek persamaannya, 2x² + 12x + 8 = 0 , nilai a = 2 , b = 12 dan c = 8

langkah 1:
2x² + 12x + 8 = 0
------------------------- : 2   (karena nilai   $a\neq 1$ maka setiap suku kedua ruas dibagi a = 2)
x² + 6x + 4 = 0 (nilai a = 1)
langkah 2:
$x^{2}+6x=-4$ (konstanta diletakkan di ruas kanan)
langkah 3:
   $x^{2}+6x+(3)^{2}=-4+(3)^{2}$ (kedua ruas ditambah kuadrat setengahnya b)
$(x+3)^{2}=-4+9$
$(x+3)^{2}=5$
   $x+3=\pm \sqrt{5}$
   $x_{1.2}=-3\pm \sqrt{5}$
   $x_{1}=-3+\sqrt{5}$ atau $x_{2}=-3-\sqrt{5}$
Demikian cara menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna, semoga bermanfaat....

Terkenang pada Sahabat

18.22 Sekilas Info No comments

Di hari-hari belajar bersama yaitu pada saat kami selalu bersama berdiskusi dan berbagi informasi pelajaran matematika dengan gembira dan penuh semangat tuk belajar, namun kini serasa sepi karena tiadanya sahabat kami Dinda Eka Faidah yang telah tiada (meninggal dunia) pada hari Kamis, 26 September 2019.
Semangatnya yang kuat dan rasa ingin tahu yang tinggi dalam mempelajari matematika menjadikan inspirasi bagi kami tuk terus berpacu dalam menuntut ilmu.

Innalillahi wainnailaihi raji'un...

Kami keluarga besar Bimbingan Belajar Matematika Griya Surya Asri turut bela sungkawa atas meninggalnya sahabat kami Dinda Eka Faidah.
Teriring Doa semoga Baktinya terhadap Orang tua, Ibadah serta amal baiknya diterima di sisi Allah SWT, Aamiin...

Selamat jalan sahabat...

Pembahasan Soal PK

17.06 Soal-soal SMP No comments

Menjawab pertanyaan tentang soal persamaan kuadrat berbentuk cerita

Soal:
Panjang sebuah persegi panjang sama dengan tiga kali lebarnya. Jika lebarnya diperpendek 1 dm dan panjangnya diperpanjang 3 dm, maka luasnya menjadi 72 dm²
Tentukan ukuran persegi panjang mula-mula !

Jawab:
Untuk menyelesaikan soal tersebut kita perlu mengubah soal cerita ke kalimat matematika kemudian dibentuk persamaan kuadrat seperti berikut,

misal: panjang mula-mula p = 3l , diperpanjang menjadi p = 3l + 3
lebar mula-mula l , diperpendek menjadi l = l - 1 dan Luas = 72 dm²

L = 72
p x l = 72
(3l + 3)(l - 1) = 72
3l² - 3l + 3l - 3 = 72
3l² - 3 = 72
3l² - 3 - 72 = 0
3l² - 75 = 0 (bentuk persamaan kuadrat)
l² - 25 = 0
(l + 5)(l - 5) = 0
l + 5 = 0 atau l - 5 = 0
l = -5 l = 5 (diambil nilai yg positif)
l = 5 , mka p = 3l
p = 3 x 5 = 15
Jadi ukuran persegi panjang mula-mula p = 15 dm dan l = 5 dm

Cara Mengetik Rumus atau Simbol Matematika di Blog

17.44 Tips dan Trik No comments

Assalamu'alaikum . .
Sobat Blgger, pada awal post di kolom Tips dan Trik ini saya mencoba berbagi info cara mengetik Rumus atau Simbol Matematika di Blog.
Baik langsung saja kita mulai mempraktekkannya....

Misalkan kita akan mengetik Rumus berikut
$S_{n}=\, \frac{n}{2}[2a+(n-1)b]$
langkah-langkahnya ialah,
Pertama saya anggap sobat telah login di Blogger
1. Buat Entri baru
2. Posisi Cursor di halaman posting, sementara itu silakan sobat login ke https://www.codecogs.com/latex/about.php atau di kolom pencarian ketik "codecogs.com" tanpa tanda petik lalu enter > pilih dan klik Equation Editor

pada jendela Equation Editor klik Screenshot

maka akan muncul jendela pop up seperti berikut

di ruang berwarna kuning itulah tempat mengetik huruf dan simbol matematika dalam bentuk kode HTML dan hasilnya berada di bagian bawahnya, seperti berikut

Untuk rumus di atas ketik kode HTML atau bisa mengambil dari menu di atasnya seperti berikut:

S_{n}=\frac{n}{2}[2a+(n-1)b]

3. Kemudian copy hasilya dan tempel di tempat posting, selesai...
4. Lihat hasilnya dengan klik Pratinju

Selamat mencoba........
Demikian semoga bermanfaat dan terima kasih telah mampir di Blog kami

Pembahasan Soal Deret Aritmetika

15.42 Soal-soal SMP No comments

Salah satu keponaan bertanya cara menyelesaikan soal berikut,
Soal:
Temukan tiga bilangan ganjil berurutan yang jumlahnya sama dengan 45

Penyelesaian:
Soal tersebut jika diselesaikan dengan cara Barisan / Deret sbb:
"tiga bilangan ganjil berurutan yang jumlahnya sama dengan 45", ini termasuk Deret Aritmetika, maka dapat ditentukan
U₁ = a    U₂ = a + 2    U₃ = a + 4 catatan: ditambah 2 karena selisih bilangan
ganjil berurutan sama dengan 2
b = 2 dan   S_n = 45
$S_{n}=\, \frac{n}{2}[2a+(n-1)b]$
$45=\, \frac{3}{2}[2a+(3-1)2]$
45 x 2 = 3(2a + 4)
90 = 6a + 12
90 - 12 = 6a
78 = 6a
a = 13   U₁ = 13
  U₂ = a + 2 = 13 + 2 = 15
  U₃ = a + 4 = 13 + 4 = 17
Jadi bilangan-bilangan ganjil itu adalah 13 , 15 dan 17

Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Menfaktorkan

16.41 SMP Kelas IX No comments

Persamaan Kuadrat
$Bentuk \, Umum\, \, \mathbf{ax^{2}+bx+c=0}\, dengan\, a\neq 0\,dan\, a,b,c\in R$
dimana x adalah variabel dan a, b, c disebut koefisien persamaan kuadrat
Contoh: 2x² + 5x – 3 = 0           a = 2 ,   b = 5 ,   c = -3
3x² + 9x = 0                 a = 3 ,   b = 9 ,   c = 0
  x² – 25 = 0                   a = 1 ,   b = 0 ,   c = -25

Nilai x yang memenuhi persamaan ax² + bx + c = 0 , disebut akar-akar atau penyelesaian dari persamaan tersebut.

Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Menfaktorkan
Jika $\mathbf{p,q\in R}$ dan  pq = 0, maka p = 0 atau q = 0

Sifat diatas dapat digunakan setelah bentuk ax² + bx + c = 0 difaktorkan terlebih dahulu dengan cara:
1. Faktorisasi dengan hukum Distributif
   $\mathit{ax^{2}+abx=ax(x+b)}$
   $\mathit{px^{2}-pqx=px(x-q)}$
2. Faktorisasi Selisih Dua Kuadrat
   $\mathit{x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)}$
3. Faktorisasi bentuk ax² + bx + c , dengan a = 1
  ax² + bx + c = (x + p)(x + q)
  c = p × q   catatan : p dan q bilangan bulat
  b = p + q
4. Faktorisasi bentuk ax² + bx + c , dengan $a\neq 1$
  ax² + bx + c = ax² + px + qx + c
=  ax² +(p + q)x + c

p × q = a × c catatan : p dan q bilangan bulat
p + q = b

Contoh:
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat  x² – 7x + 12 = 0
Jawab:
x² – 7x + 12 = 0, dimana persamaan kuadrat ini berbentuk  ax² + bx + c , dengan a = 1

cara penyelesaiannya sbb

nilai c = 12 nilai faktor 12 = -4 x (-3)

b = -7 nilai jumlah -7 = -4 + (-3), maka diperoleh penfaktoran

x² – 7x + 12 = 0

(x - 4)(x - 3) = 0

x - 4 = 0 atau x - 3 = 0

x₁ = 4 x₂ = 3

Titik Nol

09.02 Matematika ImTaq No comments

Kembali ke Titik Nol

Assalamu'alaikum wr. wb.
Sungguh Alloh swt. maha penyayang terhadap hambaNya, yang dengan pasti memberi ampunan bagi seorang hamba yang setiap melaksanakan Ibadah Mahdhah (a.l sholat, puasa haji) akan dihapus dosanya, artinya orang tersebut "kembali ke titik nol" bersih dari dosa.

Ditinjau dari sudut Ilmu Matematika, kembali ke titik nol ialah bergerak memutar ke kiri sejauh 360^o (dari titik 0^o kembali ke 0^o lagi)

Sebagai contoh gerakan ibadah sholat
Coba kita perhatikan gerakan sholat yang kita lakukan mulai dari awal (takbir):
Pertama: takbiratul ihram, "berserah diri secara total" pada Alloh swt bernilai 0^o , dan berdiri tegak membentuk sudut 180^o

Kedua: ruku', badan dan kaki membentuk sudut 90^o (siku-siku)

Ketiga: sujud, membentuk sudut 45^o sebanyak dua kali, demikian selanjutnya kembali berdiri untuk rakaat berikutnya.

Total satu rakaat gerakan sholat bergerak 360^o ( 180^o + 90^o + 45^o +45^o ) dan kembali ke titik 0^o "nol". Demikian juga untuk rakaat berikutnya, Subhanalloh....

Waallahua'lam bisshowab.

Pembahasan Soal Trigonometri

05.41 Soal-soal SMA No comments

Soal:
Jika   $\sec \alpha -\tan \alpha = x$ untuk $0^{o}< \alpha < 90^{o}$ , tentukanlah $\left ( \tan \alpha +\sec \alpha \right )$

Penyelesaian:
$\sec \alpha -\tan \alpha = x$
$(\sec \alpha - \tan \alpha )^{2} = x^{2}$
Uraian 1: $(\sec \alpha - \tan \alpha )^{2} = x^{2}$
   $\sec ^{2}\alpha -2.\sec \alpha.\tan \alpha + \tan ^{2}\alpha =x^{2}$
$\tan \alpha +1-2.\sec \alpha .\tan \alpha +\tan ^{2}\alpha =x^{2}$
$2.\tan ^{2}\alpha -2.\sec \alpha .\tan \alpha =x^{2}-1$
$2.\tan \alpha (\tan \alpha -\sec \alpha )=x^{2}-1$
$-2.\tan \alpha (\sec \alpha -\tan \alpha )=x^{2}-1$
   $-2.\tan \alpha .x=x^{2}-1$ ( lihat ketentuan di atas )

$\tan \alpha =\frac{x^{2}-1}{-2x}=-\frac{(x^{2}-1)}{2x}$

Uraian 2: $(\sec \alpha - \tan \alpha )^{2} = x^{2}$
$\sec ^{2}\alpha -2.\sec \alpha .\tan \alpha +\tan ^{2}\alpha =x^{2}$
   $\sec ^{2}\alpha -2.\sec \alpha .\tan \alpha +\sec ^{2}\alpha -1=x^{2}$
   $2.\sec ^{2}\alpha -2.\sec \alpha .\tan \alpha -1=x^{2}$
   $2.\sec \alpha (\sec \alpha -\tan \alpha )-1=x^{2}$
   $2.\sec \alpha .x=x^{2}+1$
   $\sec \alpha =\frac{(x^{2}+1)}{2x}$

$Jadi\, (\tan \alpha +\sec \alpha )=-\frac{(x^{2}-1)}{2x}+\frac{(x^{2}+1)}{2x}$
$=\frac{-x^{2}+1+x^{2}+1}{2x}$
$=\frac{2}{2x}=\frac{1}{x}$

About

Rabu, 20 November 2019

Rabu, 30 Oktober 2019

Minggu, 27 Oktober 2019

Rabu, 23 Oktober 2019

Kamis, 17 Oktober 2019

Selasa, 15 Oktober 2019

Rabu, 09 Oktober 2019

Selasa, 08 Oktober 2019

Rabu, 02 Oktober 2019

Rabu, 25 September 2019

Senin, 23 September 2019

Selasa, 17 September 2019

Kamis, 12 September 2019

Social Profiles

Arsip Blog

Categories

BERANDA

Mengenai Saya

Pages - Menu

Pages - Menu

Labels

Blog Archive

Blogger templates

Blogger news

Blogroll

About

Pages