Ruang Belajar Matematika

Rabu, 26 Februari 2020

Pembahasan Bentuk Akar tak hingga

19.00 SMP Kelas IX, Soal-soal SMP 1 comment

Mendapat pertanyaan dari siswa tentang cara menentukan nilai akar tak hingga suatu bilangan, yang mana permasalahan tersebut kecil kemungkinannya dibahas dalam proses pembelajaran. Oleh karena itu pada kesempatan ini Admin mencoba untuk membahasnya.

Salah satu bentuk soalnya sebagai berikut.
Nilai dari   $\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}}$ adalah ....

Penyelesaian
$misalkan\, x=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}$ ⇒ disebut bentuk akar tak hingga
maka   $x=\sqrt{2+x}$
$x^{2}=(\sqrt{2+x})^{2}$ ⇒ kedua ruas dikuadratkan
$x^{2}=2+x$
   $x^{2}-x-2=0$ ⇒ penfaktoran bentuk ax² + bx + c = 0 , dimana a = 1
   $(x-2)(x+1)=0$
   $x-2=0$ atau    $x+1=0$
   $x=2$ $x=-1$ (diambil nilai x yang positif)
x = 2, maka nilai   $\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}=2$
Jadi nilai dari $\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}=\frac{1}{2}\times 2$
$=1$

Aplikasi Peluang

16.31 Soal-soal SMP 1 comment

Soal
Di dalam suatu keranjang terdapat 12 apel, dua diantaranya diketahui busuk. Jika diambil 3 apel secara acak (random), maka peluang tepat satu diantaranya busuk adalah ....

Jawab
S = pengambilan 3 apel sekaligus

$n(S)=_{12}C_{3}=\frac{12!}{3!(12-3)!}=\frac{12!}{3!.9!}$
$n(S)=\frac{12\times 11\times 10\times 9!}{3\times 2\times 1\times 9!}=220$

Misal kejadian terambil 2 apel baik (A) dan 1 apel busuk (B) adalah K ,
n(K) = n(A) x n(B)

$n(K)=_{10}C_{2}\times _{2}C_{1}$
$=\frac{10!}{2!(10-2)!}\times \frac{2!}{1!(2-1)!}=\frac{10!}{2!.8!}\times \frac{2!}{1!.1!}$
$n(K)= \frac{10\times 9\times 8!}{2\times 1\times 8!}\times \frac{2\times 1}{1}=90$
$Peluang kejadian K : P(K)=\frac{n(K)}{n(S)}$
$P(K)=\frac{90}{220}=\frac{9}{22}$
$Jadi\, peluang\, terambilnya\, 3\, buah\, apel,\, tepat\, satu\, diantaranya\, busuk\, =\, \frac{9}{22}$

Barisan Bilangan Tingkat Dua

16.47 Soal-soal SMP No comments

Soal:
Diketahui barisan bilangan 8 , 15 , 24 , 35 , ...
Tentukan rumus suku ke n barisan bilangan tersebut!

Pembahasan:
Barisan bilangan di atas tidak termasuk barisan bilangan Aritmetika maupun Geometri oleh karena itu dibuatlah barisan bertingkat sampai mendapatkan beda yang tetap.
Pola barisan yang terbentuk seperti berikut

Barisan bilangan di atas merupakan barisan bilangan tingkat dua
Rumus Umum suku ke n ialah Un = an² + bn + c ; dengan a, b dan c ditentukan kemudian menggunakan sifat, (lihat text box)

2a = constanta
2a = 2
a = 1

3a + b = beda dua suku pertama
3(1) + b = 7
b = 7 - 3
b = 4

a + b + c = 8
1 + 4 + c = 8
c = 8 - 1 - 4
c = 3

Un = an² + bn + c
Un = n² + 4n + 3 atau jika diubah dalam bentuk faktor menjadi
Un = ( n + 3 )( n + 1 )
Jadi Rumus suku ke n untuk barisan bilangan 8 , 15 , 24 , 35 , ...
adalah Un = n² + 4n + 3 atau Un = ( n + 3 )( n + 1 )

Rumus Besaran Pada Fungsi Kuadrat

09.05 SMP Kelas IX No comments

Berikut ini adalah rumus-rumus untuk menentukan besaran pada Fungsi Kuadrat

Untuk besaran-besaran pada fungsi kuadrat $\mathbf{f(x)=ax^{2}+bx+c}$ dengan $\mathbf{a\neq 0}$ dan $\mathbf{D=b^{2}-4ac}$ dapat diperoleh menggunakan cara, menentukan:
a. Pembuat nol fungsi y = f(x) = 0 , artinya grafik memotong sumbu x, maka y = 0 diperoleh:

Akar-akar persamaan kuadrat x₁ dan x₂
_{Titik potong pada sumbu x ( x₁ , 0 ) dan ( x₂ , 0 )}

b. Grafik memotong sumbu y, maka x = 0 yakni

x = 0   $\rightarrow$    y = f(x) = ax² + bx + c

           y = a.0 + b.0 + c
y = c

koordinat titik potong grafik terhadap sumbu y ( 0 , c )

c. Persamaan sumbu simetri dinyatakan dengan $x=\frac{-b}{2a}$

d. Nilai optimum (minimum/maksimum)

Nilai optimum dapat ditentukan dengan rumus $\frac{-D}{4a}$ atau $\frac{-(b^{2}-4ac)}{4a}$

e. Titik puncak (optimum) parabola $\left (\frac{-b}{2a} , \frac{-D}{4a} \right )$

Menentukan Fungsi Kuadrat

05.52 SMP Kelas IX, Soal-soal SMP No comments

Pada ruang solusi kali ini akan dibahas cara menentukan Fungsi Kuadrat yang grafiknya melalui beberapa titik yang ditentukan.
Sebagai bahan pembahasan akan diselesaikan soal dalam buku paket Latihan 2.4 hal 115 no. 1

Soal:
Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik koordinat (-1, 1) , (0, -4) dan (1, -5)

Jawab:
Ada tiga tahapan untuk menyelesaikan soal tersebut yaitu,

tulis dulu Fungsi Umum: y = ax² + bx + c
Tahap 1:
Grafik melalui titik (0, -4) ................ kita ambil titik (0, -4) terlebih dahulu karena ini merupakan
titik potong grafik dengan sumbu y, dimana x = 0
Ingat grafik memotong sumbu y di titik (0, c), maka nilai c = - 4

Fungsi menjadi  y = ax² + bx - 4

Tahap 2:
Grafik melalui titik (-1, 1)
(-1, 1) disubstitusikan ke y = ax² + bx - 4
x = -1 dan y = 1 diperoleh  1 = a(-1)² + b(-1) – 4
1 = a - b  – 4
1 + 4 = a - b
5 = a - b atau a - b = 5 ........... persamaan (1)

Tahap 3:
Grafik melalui titik (1, -5)
(1, -5) disubstitusikan ke y = ax² + bx - 4
x = 1 dan y = -5 -5 = a(1)² + b(1) – 4
-5 = a + b  – 4
- 5 + 4 = a + b
- 1 = a + b atau a + b = - 1 ........... persamaan (2)
(1) dan (2) ..... a - b = 5
a + b = - 1
--------------- +
2a = 4
  a = 2
a = 2 disubstitusikan ke persamaan (2)
  a + b = - 1
2 + b = - 1
b = - 1 - 2
b = - 3
Nilai a = 2 , b = - 3 dan c = - 4 disubstitusikan ke fungsi kuadrat bentuk umum
y = ax² + bx + c
y = 2x² - 3x - 4 inilah Fungsi Kuadrat yang dimaksud.

Demikian cara menentukan Fungsi Kuadrat yang grafiknya melalui beberapa titik yang ditentukan. Selamat belajar....

Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Rumus Kuadratik

14.32 SMP Kelas IX No comments

Disamping dua cara yang sudah diuraikan pada postingan yang lalu, untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dapat juga diselesaikan dengan menggunakan Rumus Kuadaratik atau yang biasa dikenal dengan Rumus ABC yaitu,

$x_{1.2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

Contoh:
Selasaikan persamaan  3x² – x – 2 = 0 dengan menggunakan rumus kuadratik

Jawab:
Catatan: dalam menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan rumus, ubah dulu bentuk persamaan ke bentuk umum  ax² + bx + c = 0 agar mudah untuk menentukan nilai a, b dan c

Pada persamaan kuadrat 3x² – x – 2 = 0 ini sudah sesuai dengan bentuk umum dan didapat nilai a = 3 , b = –1 dan c =- –2
Kemudian nilai a , b dan c disubstitusikan ke Rumus seperti berikut
$x_{1.2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
$x_{1.2}=\frac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^{2}-4(3)(-2)}}{2(3)}$
$=\frac{1\pm \sqrt{1+24}}{6}$
$=\frac{1\pm \sqrt{25}}{6}$
$x_{1.2}=\frac{1\pm 5}{6}$
$x_{1}=\frac{1+5}{6}$ atau $x_{2}=\frac{1-5}{6}$
$x_{1}=\frac{6}{6}=1$    $x_{2}=\frac{-4}{6}=\frac{-2}{3}$

Selamat belajar.....

Media Pembelajaran

19.36 Power Point No comments

Pada umumnya konsep-konsep dalam matematika bersifat abstrak. Agar konsep abstrak matematika bisa diterima dengan baik oleh anak perlu diberikan penguatan diantaranya ialah dengan media pembelajaran. Oleh karena itu dalam ruang ini admin coba memposting artikel dalam bentuk ppt. dengan harapan; bagi siswa bisa dipergunakan sebagai penunjang dalam belajar agar lebih mudah memahami konsep matematika dan bagi pengunjung Blog yang ingin mendapatkan informasi Matematika dalam bentuk ppt silahkan mengunduh beberapa materi pembelajaran di bawah ini. Semoga bermanfaat...

Materi penunjang PBM untuk Kelas VII dalam bentuk ppt yang bisa didownload :
Melukis Duplikat dan Garis Bagi Sebuah Sudut Download File di sini

Materi penunjang PBM untuk Kelas VIII dalam bentuk ppt yang bisa didownload :
Pengertian Gradien atau Kemiringan Garis Download File di sini

Materi penunjang PBM untuk Kelas IX dalam bentuk ppt yang bisa didownload :

Ruang Belajar Matematika

About